Todo espaço vetorial possui uma base
Este resultado,
trivial no caso finito, é de fato bastante surpreendente quando se pensa em espaços
vetoriais de dimensão infinita.
A ideia de
escrever este post surgiu após estudar o capítulo 1 do livro de análise
funcional do BREZIS, mais
precisamente, a forma analítica do Teorema
de Hahn – Banach. A prova deste importante teorema necessita
do Lema de Zorn, que é um axioma da
teoria dos conjuntos equivalente ao Axioma da Escolha, normalmente apresentado
por:
“Se em um conjunto não vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto
totalmente ordenado tem uma cota superior, então o conjunto tem um elemento
maximal.”
Durante o estudo pude constatar que
uma aplicação simples do Lema de Zorn é provar que todo espaço vetorial
independente de sua dimensão possui uma base, então me lembrei das aulas de álgebra linear, as quais esta afirmação era
demonstrada apenas para o caso de dimensão finita (presumivelmente para evitar
falar sobre o axioma da escolha
e lema de Zorn). Diante dos fatos citados apresento a seguinte demonstração, que independe da dimensão do espaço.
Seja $E$ um espaço vetorial qualquer. Se $E$ possui apenas o vetor nulo, então este vetor será a base de $E$. Caso $E$ possua infinitos elementos consideramos o conjunto
$$P=\{L\subset E;\textrm{ }L\textrm{ é linearmente independente}\}.$$
$$P=\{L\subset E;\textrm{ }L\textrm{ é linearmente independente}\}.$$
Neste caso, é claro que $E$ é não vazio, uma vez que todo conjunto contendo um único elemento não nulo é linearmente independente.Vejamos agora que é possível munir $P$ de uma ordem parcial ''$\leq$'' dizendo que $L_1 \leq L_2$ se, e somente se, $L_1 \subset L_2$. Agora seja $Q \subset P$ um conjunto totalmente ordenado. Vamos mostrar que $P$ é indutivo, ou seja, existe $\tilde{L}\in P$ tal que $A \leq \tilde{L}$ para todo $A \in Q $ (neste caso $\tilde{L}$ é uma cota superior para $Q$). Para tanto, defina $$\tilde{L}=\bigcup_{L_{\alpha} \in Q} L_\alpha .$$
É claro que $\tilde{L} \in P$, pois dada uma combinação linear qualquer com os elementos de $\tilde{L}$ dando o vetor nulo, digamos $$a_1x_1 + \ldots + a_nx_n = 0,$$ com $x_1 \in L_{\alpha_{1}}, \ldots , x_n \in L_{\alpha_{n}}$, como os $L_{\alpha_{i}}$'s pertencem a $Q$ e $Q$ é totalmente ordenado, existe $L_{\alpha_{j}}$ que contém todos os $x_{i's}$, $i=1, \ldots , n$. Mas $L_{\alpha_{j}} \in P$, logo $a_i=0$, $i=1, \ldots , n$. Portanto, $\tilde{L} \in P$. Isto mostra também que $\tilde{L}$ é cota superior para $Q$. Daí, pelo lema de Zorn, temos que $P$ possui um elemento maximal, digamos $\beta$. O próximo passo é mostrar que $\beta$ é uma base de $E$. Para isto, basta mostrar que $\textrm{Span}\, \beta = E$. De fato, se existisse $x \in E \backslash \textrm{Span}\, \beta$, então definiríamos $L=\{x\} \cup \beta$. Com isso,
- Se $L$ fosse linearmente independente, então $L$ pertenceria a $P$, logo teríamos $\tilde{L}> \beta$ (contradição, já que $\beta$ é maximal).
- Se $L$ fosse linearmente dependente, então teríamos uma equação do tipo $$ax + \sum b_i \beta_i = 0, \quad \beta_i \in \beta,$$ onde os coeficientes não seriam todos nulos. Mas isso acarretaria duas possibilidades:
- Se $a=0$ então $\beta_i=0$ (contradição, pois neste caso $L$ seria linearmente independente);
- Se $a\neq 0$ então $x=\sum\left(\frac{-bi}{a}\right)\beta_i$, logo $x \in \textrm{Span}\, \beta$. (contradição, pois supomos $x \in E \backslash \textrm{Span}\, \beta$).
Em qualquer caso chegaríamos a uma contradição. Portanto, $\textrm{Span}\, \beta= E$. Isto mostra que $\beta$ é uma base de $E$.
Referências
- H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Diferential Equations, Springer-Verlag, 2010.
- http://pt.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Zorn